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Franz-Josef Elmer

Differentialgleichungen in der Physik

Verlag Harri Deutsch, 1997, ISBN 3-8171-1550-4

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 7
1.1 Grundbegriffe 7
1.2 Nützliche Lösungsstrategien 11
1.2.1 Das Reduktionsprinzip 11
1.2.2 Das Superpositionsprinzip 14
1.2.3 Das Prinzip des passenden Ansatzes 14
1.2.4 Das Transformationsprinzip 15
1.2.5 Näherungsmethoden und Numerische Integration 16
2 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 17
2.1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 18
2.2Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung 21
2.2.1 Transformationsmethoden 22
3 Lineare, gewöhnliche Differentialgleichungen 27
3.1 Homogene, lineare Differentialgleichungen 28
3.1.1 Reduktionsverfahren von d'Alembert 30
3.1.2 Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 32
3.1.3 Die Eulersche Differentialgleichung 36
3.1.4 Die Potenzreihenentwicklung 37
3.1.5 Das Sturm-Liouville-Problem 51
3.2Inhomogene lineare Differentialgleichungen 58
3.2.1 Methode der Variation der Konstanten 58
3.2.2 Integraltransformationen und Operatormethode 59
3.2.3 Die Greensche Methode 65
4 Partielle Differentialgleichungen 71
4.1Separation der Variablen 73
4.2Die Greensche Methode für Anfangswertprobleme 77
4.3Methode der Charakteristiken 80
4.3.1 Hyperbolische Differentialgleichungen erster Ordnung 80
4.3.2 Hyperbolische Differentialgleichungen höherer Ordnung 85
5 Exakte Lösungen nichtlinearer Wellengleichungen 91
5.1Dispersive Wellen 91
5.2Schockwellen 93
5.2.1 Nichtstetige Schockwellen 94
5.2.2 Stetige Schockwellen 99
5.3Solitonen 102
5.3.1 Inverse Streutheorie 103
5.3.2 Die Hirota-Methode 105
5.3.3 Andere Differentialgleichungen mit Solitonenlösungen 109
6 Qualitatives Verhalten nichtlinearer Differentialgleichungen 113
6.1Klassifikation nichtlinearer Differentialgleichungen 114
6.2Klassifikation der Lösungen 116
6.2.1 Fixpunkte 117
6.2.2 Grenzzyklen 120
6.2.3 Quasiperiodische Bahnen 124
6.2.4 Chaotische Bahnen 127
6.3Die dynamische Stabilität nichtwandernder Mengen 138
6.3.1 Lineare Stabilitätsanalyse 139
6.4Bifurkationstheorie 145
6.4.1 Stationäre Bifurkationen 147
6.4.2 Hopf-Bifurkation 153
7 Näherungsmethoden 157
7.1Störungstheorien 158
7.1.1 Die WKB-Methode 160
7.1.2 Mehrskalenstörungstheorie 167
7.2Nichtstörungstheoretische Methoden 176
7.2.1 Methode der kleinsten Abweichung 177
7.2.2 Ritzsche Variationsmethode 178
7.2.3 Projektionsmethoden 180
8 Numerische Lösungsmethoden 187
8.1Anfangswertprobleme 188
8.2Randwertprobleme 197
8.2.1 Schießverfahren 197
8.2.2 Relaxationsverfahren 199
A Einige nützliche Methoden und Begriffe 205
A.1Zur Nomenklatur 205
A.2Lösungsmethoden für algebraische Gleichungssysteme 207
A.2.1 Lineare Gleichungssysteme 207
A.2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme 209
A.3Fourier-Transformation 210
A.4Die Gamma-Funktion 212
A.5Die Diracsche Delta-Funktion 213
A.5.1 Definition 213
A.5.2 Eigenschaften und Rechenregeln 214
A.6Funktionale und Funktionalableitungen 215
BLiteratur 217

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